数学课堂需要怎样的表达

——“求真悟道”2019年全国小学数学教育论坛活动随感

南京市江宁科学园小学  程香

很有幸能参加由《教育研究与评论》编辑部、《教育视界》编辑部主办的“求真悟道”2019全国小学数学教育论坛活动。相同的理念，不同的课堂，目的在于引起思维的碰撞，在碰撞中产生疑问，在释疑中感悟道理，在感悟中获得成长……

 “倾听、表达、思考”是本次活动的三个关键词，对于一节数学课而言，三者实则是密不可分的一个整体。“听讲听讲，先听后讲，补充质疑，外加鼓掌”，一句幽默诙谐的顺口溜充分表达出贲友林老师对三者关系的思考与实践。“倾听”是静态的，“思考”是隐形的，“表达”却是动态显性的，只有通过表达才能体现倾听与思考的效果。

小学数学课堂需要怎样的表达？数学特级王东敏老师经常强调“干脆、利落、不结巴”，这应该是从语言表达层面提出的直接要求，数学表达需要的不仅仅是流畅性，还需考虑表达对象年龄层次性，表达内容与形式的趣味性、逻辑性、自发性与互动性。

一、数学表达要由感性入手，注重趣味性

依据皮亚杰的认知发展阶段理论，7—11岁的儿童正处于感知运动阶段，这一阶段的学生还不能进行抽象思维，他们的认知过程必须与熟悉的物体或场景相联系。正因为如此，“生动形象、富有趣味性”应该是小学数学课堂表达的首要追求，低年级数学课堂中的表达尤其需要如此。

初入学儿童眼里的数学应该是多彩、新奇而神秘的，初始的数学表达也许会结结巴巴，也许会答非所问，也许会天马行空，也许仅仅浮于表面……但这些必然是课堂表达所要经历的过程，教师所要做的是亲历学生课堂表达成长的历程，欣赏过程中的风景。

苏教版二年级上册练习十一上有这样一道题：7×□=□     □÷□=7

教师结合学生汇报有序出示算式，让学生对比算式谈谈发现。

生1：我还想到了7×0=7

生2：7×0表示0个7或者7个0，怎么等于7呢？应该等于0

生3：我也想到了一道7÷0=7

生4：不对，除法表示平均分，怎么能平均分成0份呢？最少要平均分成1份啊

生5：所以根本不能7÷0=7

生6：我有一种感觉，右边这一竖排中的被除数和除数好像在作对，被除数少7个，除数少1个，商根本就没变。

学生的话语体系是相通的，原生态的感性表达有时要比深思熟虑后的理性归纳更能打动人。一组简单的算式，加之以学生感性的表达，学生不仅自觉体会到了除数不能为0的道理，而且借助一个生活化的比喻（被除数与除数的“作对”），就让学生形象的感知到除法算式各部分变化过程中的不变，为后续商不变的规律学习埋下伏笔。

当然，感性的数学表达并不能局限于语言表达层面，教师应引导学生借助图形、动作手势，并辅之以想象加以表达。比如：

三个小朋友比赛跳绳，军军跳的比小小少，乐乐跳的比小小多，（ ）跳的最少。

学生边画图边介绍：

箭头戳人比较疼，所以可以用箭头的方向表示多的，用箭把的地方表示少的，先用一点表示小小跳的，军军跳的比小小少，军军的位置肯定在小小的左边，乐乐跳的比小小多，乐乐的位置肯定在小小的右边。同学们称此法为弓箭法。

多种量的比较问题一直是低数教学的难点，也许正因为是学生自创的方法，并加之以图文并茂的表达，才更容易深入学生的内心，进而能让他们在后续的问题解决过程中自觉运用。

二、数学表达需为理性停留，追求自发性

正如张齐华老师所说，表达是每个学科课堂所共同具备或需要体现的元素，比如语文课堂，一般要求课堂表达在语言流畅的基础上需具备一定的感情色彩，数学表达同样要求语言响亮、流畅，但对于情感方面的要求则比较淡薄。小学数学课堂追求的应该是儿童化基础之上的数学化表达。所谓“数学化表达”，应该是学生能从数学的角度提炼复杂场景中的数学知识，自觉运用数学知识揭示现象背后蕴含的数学道理，并能借用数学语言、符号等准确、简洁的予以表达。

活动中罗明亮老师与孩子们就对数学表达的说理性作出了完美的诠释：

师：怎样判断一个数是不是5的倍数？3呢？

生：个位上是0或5的数是5的倍数，如果一个数各数位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：5的倍数看个位，3的倍数看各个数位，你有疑问吗？

3和5的倍数特征，孩子们已经烂熟于心，而如此这般判断的缘由，学生要么没敢想，要么不敢问，正是因为罗老师课前对学情的充分把握，才自然生成了课堂研究的问题：为什么判断5的倍数只看个位？为什么判断3的倍数要看各数位数字和？也才有了思考的方向，学生顺着这两个问题，抽丝剥茧、逐层深入：

生1：可以举例，比如10……

生2：5×1=5，一位数里5是5的倍数；5×2=10，在两位数里10是5的倍数；再举个三位数120，它是10的倍数，所以也是5的倍数；再比如125，除以10等于12还余下5，余数5正好是5的倍数，所以125也是5的倍数。

生3：他的意思就是根据10来判断，如果一个数的末尾是0，它一定是10的倍数，10又是5的倍数，所以这个数一定是5的倍数。

生4：有点像位值原理，假设是3255，3255=3250+5，3250是10的倍数，10又是5的倍数，所以只要看个位是不是5的倍数就行了。

教师又引导由5的倍数特征的道理迁移到2的倍数特征的道理：

生5：假设一个四位数为     ，      =1000a+100b+10c+d,因为1000a、100b、10c都是10的倍数，10又是2的倍数，那么1000a、100b、10c都是2的倍数，所以只要看个位是不是2的倍数就行。

……

原本只知其然而不知其所以然，而今既知所以然更知晓其然。由表达的升级，自然促使数学思维的进阶。当思维开始进阶，学生不会止步于感性的表达，不会满足于规律的发现，而是会自发产生深入解剖的需要，自觉探寻数学内在的道理。

苏教版五年级下册“圆的周长”一课安排了这样一道例题：

通过观察，学生能发现正方形的边长等于圆的直径，正方形的周长是圆直径的4倍；正六边形的边长等于圆的半径，正六边形的边长等于圆半径的六倍，也即直径的4倍，至此教材希望学生通过观察能得出圆的周长比直径的3倍要多，比直径的4倍要少。

课后研讨过程中有教师提出疑问：因为两点间线段最短，可以看出圆周长比正六边形周长短。但学生如何能得出圆周长比正方形周长长呢？若不能得出，则4倍少一些又是如何能知晓？

多位教师认为从图中可以直接看出正方形周长大于圆周长，并表示教学过程中从来没有学生提出这一疑问。而课后学生访谈中了解到的却并非如此，竟有多个学生看图后认为正方形周长与圆同样长。为何教师会认为这根本就不是问题？为何学生在课堂中根本就不敢提出问题？数学课堂何时才能追求“表达自由”？在学生碎片化表达中怎样培养逻辑性？这些都是值得每一位数学老师应该反思的问题。

三.数学表达强调多维互动，体现传递性

数学课堂中的表达应该是网状的、多维度的，数学表达应具有传递性，一个学生的表达要能引发更多学生的思考，能引起其他学生的质疑。我们期望这种传递能自然生成，可很多时候学生思维与表达的差异性并不能帮助教师达成这种美好的愿景，数学课堂的多维表达画面需要教师去精心营造。

课堂中，当教师面对语言欠缺、思维混乱的表达该如何处理？直接换人还是耐心引导？贲友林老师选择了后者：

5号学生（被台下老师抽中表达）：10-1=9，9×2=18，18+3=21，请问有补充吗？

师：不急不急，10-1=9是什么意思？

5号学生：10-1=9，9×2=18，18+3=21

教师：别急，10表示什么？

5号学生：10表示10个三角形

教师示意台下学生鼓掌

5号学生又读学习单上的算式：10-1=9，9×2=18

教师：9×2中的9是什么意思？2呢?

……

鼓励学生表达、教会学生表达方法，并善待学生每一次的表达过程应该是教师在课堂表达层面需要努力的第一步。贲友林老师在面对陌生的学生，发现学生理解与表达方面的欠缺后，不放弃，不回避，而是选择了耐心引导，此时教师心中已经淡化了后续的教学环节，不自觉忽略了课堂时间的限制，眼里只有5号学生，并发动全班学生助力5号，直至其能弄懂，并完整表达为止。

“每天添上一根柴，顽石也能炼成金”，由要求出发，当课堂表达成为一种习惯，教师所要做的就是碎片化的表达的连接、传递，让课堂表达互动起来。

我们再来聚焦罗明亮老师的课堂：

“你听懂了什么？

评价一下，好在哪？

这两种方法，有什么不同？……

罗老师更多时候都是在倾听学生的表达，可是在充当话筒传递者的同时，简单的看似漫不经心的几句话，却引领着全班学生对刚才的表达进行深入的反思或评价，以激发学生产生新的思考、新的表达。

思考就这样继续，表达就这样传递，学习每天就这样自然发生，也是一件极其美妙的事情！

学生要有一定的“课外”

——参加2019全国小学数学教育论坛有感

南京市江宁科学园小学 张声涛

前不久，也就是儿童节后的第一天，很有幸前往南京市第十三中学参加了2019年全国小学数学教育论坛活动，本次活动的主题是“求真悟道”:追求课堂的真实，领悟其中的道理。

课堂离不开老师，但更离不开学生，学生才是课堂学习的主人。本次活动对我感触最深的就是全国著名特级教师王栋生老师的报告，让我再一次对课堂有了重新的认识。课堂是学生学习的主阵地，但绝不是学生获得知识的全部。

王老师在他的报告中提出了一个现如今非常流行的词眼“刷题”，相信这个词对我们教师而言并不陌生，对学生而言更不陌生，对任一阶段毕业班的孩子则是苦不堪言。也会经常听到，说什么学霸都是靠“刷题”“起家”的，特别是毕业班，感觉每天不“刷题”觉得对不起学霸这个称呼，觉得很不正常，很没面子。

数学是思维的体操。思维是要训练，固然离不开一定的练习，因为适量的练习能让学生形成一定的数学技能。但思维更多的是需要启迪，需要独立的思考。仔细回想一下我们的课堂，试问有没有留给学生更多的思考？或者说学生有没有时间进行深入的思考呢？学习不仅仅会在课堂上发生，而更多的理应在课外，在学生熟悉的生活中发生。纵观我们的课堂，其实留给学生思考的时间不多，更多的则是留给学生“刷题”的时间。学生的课外更多的是用来“刷题”，用来奔波于各种辅导班，哪有多少时间思考知识的来龙去脉。长期以往，学生就真的变成了“刷题”的机器，考试的工具。

但作为一名教者，其实我们应该明白，课堂要关注的不仅仅是当下学生的学习，更应着眼于学生的未来发展。如果学生没有了“课外”，没有了独立思考的时间，也就没有了自由思想，试问哪儿还会有中华民族的创新精神呢！

作为一名普通的教师，也许我们无法改变这种社会“乱象”，也许我们无法改变家长的“思想”，但我们所能做的，就是改变自己的教学理念和教学行为，努力提高自己的课堂教学效益，还学生的“课外”时间。如，我们可以让学生从大量的题海中解放出来，即使是毕业班也完全可以做到精选精练，避免过于重复性的机械练习。我们不能用超课时和超量的作业来替代我们的课堂教学，而应让思维替代大量的书面作业，作业只是一种形成技能的形式，而思维才是数学的核心。为此，我们可以留给学生多样化的作业， 如实践性的作业、言语交流的作业、动手操作的作业等等，而不仅仅局限于书面作业。

学生需要“课外”，正如王老师所说的，学生也需要时间来“休息生养”，正如孔子所说的“温故而知新”。学习其实就是主体不断自我内化的过程，如果学生的“课外”都给了“刷题”，都给了“辅导班”，学生还有时间静下心来思考课堂内所学到的知识吗？没有思考，何来思维？

“求真悟道”2019全国小学数学教育论坛有感

南京市江宁科学园小学  郑金霞

罗鸣亮老师执教《你知道吗》引领学生探究5、2、3倍数特征背后的秘密。课堂上，罗老师关注问题的设计，关注每一个孩子真实的想法，关注每一种想法的合理表达，学生在罗老师的循循善诱下，思路被打开，思维的洪流如汛期的江水奔腾而至。初出场，罗老师就用课题给学生呈现了出不一样的课堂:今天这节数学课要学习什么，你们知道吗？不是写在这儿吗？到底是知道还是不知道？……学生在一圈“知道，不知道”中放松心情，展开学习，睿智的课堂由此铺陈开来。

罗老师这节课从5，3的倍数特点入手，引发学生质疑，提出问题，然后选择预设的两个问题:（1）判断一个数是不是5的倍数，为什么只看个位，其他数位都不用看？（2）判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？对于这样的问题，很多孩子最初都选择了用结论来说明，但在同学们一个接一个的交流后，孩子们渐渐领悟，“为什么”远远不是“是什么”这么简单。要想说清楚这个“为什么”也并不容易。

但很快一个孩子借助位值原则的说明，打开了所有孩子的视野，他借助10来逐一说明，有理有据的表达，赢得了其他孩子们自发的掌声。由此，5的倍数为什么只要看个位的理解如剥笋般被层层剥离开来。孩子们不仅领悟而且能够清楚地表达出理由，并以此类推到2的倍数特征，解释为什么2的倍数只看个位。整个过程老师似乎只做了一件事，就是微笑着传递话筒。但这样一个可能很多数学老师都没有反思的问题，孩子们却能在交流讨论中明晰，这不能不可见大咖课堂的功力，罗老师引领孩子们在思考后表达，在表达中倾听，在倾听后继续思考的过程，正是数学课堂追求的至高目标。

贲友林老师执教研究课《找规律》。小组内研究单的交流，听课教师随机报学号选代表汇报。5号学生在老师的引导下完整表述自己的想法。通过在黑板上圈一圈、画一画等活动，把学生的思考引向深入，实现学生对问题的真正理解，在理解的基础上，呈现多元的算法。教学并不止步于此，贲老师又引领学生比较不同算法，发现不同算法背后的相同点，把课堂教学一步步推向深入。

听完论坛讲座，深受感触！回到我的数学课堂中，我也开始有意识地关注孩子们的倾听、表达和思考，虽然有时因此耽误了教学进度，但觉得很值得！从低年级开始培养孩子们的这些数学能力，将来学生和高年级教师都会受益.

倾听、表达、思考，大道至简，我们今后课堂的方向，不虚此行！

“求真悟道”关注每一位学生的课堂学习

——向大咖们致敬

南京市江宁科学园小学    邵美琳

6月2号我有幸参加了2019全国小学数学教育论坛。短暂的开幕式后，就正式进入论坛。首先由玄武区教师发展中心的余夕凯主任给我们带来了报告《玄武小数印象》，报告主题是：向下沉潜，向上飞扬。向下沉潜是为了赋予师生生长的力量，向上飞扬乃是给儿童更美好的数学教育。接着是王栋生老师用幽默的话语、淡然的语调，给我们带来了一场精彩的批判性报告——《最重要的智慧：遵守常识》，王老师大胆直面教育中的典型问题，以自身的教育实践为例，真实地剖析了当前教育中存在的突出问题，让我们看到了教育本来应有的模样。王老师告诉我们教师也会出错，而且出错也是很正常的，他作为全国著名特级教师曾经也犯过错误，面对错误我们应该保持坦然、宽容的心态，不要妄自菲薄。王老师还指出我们的教学观念要应时而化，课堂上一定要多给学生留一分钟思考；问题未必都要“当堂解决”；教师能讲不如学生会想。数学学科不能用超课时和超量的作业替代教学，过多的上课不利于培育兴趣，不利于发展思维。王老师说常识是人们长期摸索积聚而成的经验。老师们要学会等待，要有全局意识，允许有的孩子慢慢走，尊重他们天马行空的想法。不要太在意一节课的完美，要让学生在常态中生长，享受教育的滋润。

报告结束后，全国著名特级教师华应龙给我们展示了一节解决问题的课。这节课要解决的问题是台湾国小六年级孩子的一道难题：徒弟：师父多大了？师父：我在你这个年纪时，你才5岁；但你到我这年纪时，我就71岁了！请问：徒弟几岁？师父几岁？

孩子们在三分钟的独立思考后，华老师询问学生刚才做这道题时遇到了什么难处？学生说出的难处有1、年龄差是多少不知道。2、不知道过了多少年，找不到数量关系，列不出方程。3、题中的两个数据不知道该怎么用。孩子们的困惑也正是我们在坐的很多老师的难处，说到我们的心坎上去了。可是有几个孩子是有答案的，但是华老师鼓励他们先憋着不说，他这样做就是想让每一个孩子都能自己去想，而不是听别人说，正如王老师报告中所讲尊重那些慢一点的孩子，不能剥夺他们思考的权利。华老师梳理了孩子们的困难，总结得十分精准：1、题目读不懂。2、关系找不到。3、根本没思路。接下来华老师的方法指导让我印象深刻，就像医生一样对症下药。题目读不懂怎么办？书读百遍其义自见，他引领学生回到问题中，反复读题，并用自己的话说一说题意。找不到数量关系怎么办，华老师分享了“祖传秘方”——投石问路，华老师用一条数轴表示时光隧道，用两个小磁铁分别表示出徒弟现在的年龄和师傅现在的年龄，这样就实现了过去、现在、将来在时光隧道中随意穿梭。在简单的示范后，学生也通过投石问路的方法进行尝试。在三个孩子不同的尝试中，对比、交流、发现了其中不变的是什么？变化的是什么？每个孩子在倾听别人的发言中渐渐明晰了自己的解题思路，最终孩子们都能顺利列式解答。这节课的结尾让我很意外，孩子们的方法展示之后华老师竟然提出：我是一个笨小孩吗？投石问路的方法笨吗？在一番反思之后，华老师说我不是笨小孩，越是笨的方法越有用，巧妙的方法是有局限的。华老师的这节课不断地告诉我这样一个事实：数学不是老师讲明白的，而是学生自己想明白的，我们要让学生多想。

那么数学课上到底该怎样逼着孩子想？逼着孩子认真倾听呢？对此，我一直没有很好的办法。不过，下午的两位大咖用自己的课堂让我知道了该怎么做。下午第一节课是数学“王子”张齐华老师执教的《用方向和距离确定位置》。课的开始，张老师首先借助听的繁体字“聽”，引导学生学会用耳朵听，用眼神交流，用心听，做一个有道德的倾听者。在小组合作中，他把听说的要求打印在纸上，手把手地指导孩子听的方法和策略。在小组汇报时为了检验孩子是否认真倾听了同伴的发言，张老师另辟蹊径，想出了让孩子汇报同伴的想法，倒逼着孩子认真倾听，这一招果然妙。

第二节课是朱国荣老师执教的《抽屉原理》，这也是我第一次聆听这样一个很深奥很抽象的问题。朱老师精心创设了两个学生熟悉的问题情境，任务驱动地恰到好处，不仅调动了学生的积极性，也将抽象的原理深入浅出地教给了孩子们。

在分享交流的环节，虽然我没有勇气向大咖们提问，但是通过聆听大咖们有深度、有耐心的沙龙研讨，我感触更深，对大咖们的敬意更加强烈。同时，我也暗下决心，要在自己的数学课堂中，向大咖们学习，关注孩子们的倾听、表达和思考，也许会耽误教学进度，但非常值得，这些基本能力的培养不就是让数学核心素养有效落实的抓手吗？

“求真悟道”活动感想

   南京市江宁科学园小学  仇海兰

6月2号参加“求真悟道”小学数学教育论坛活动，本次活动围绕着“倾听、表达、思考”这三个关键词，我对于华应龙老师的课印象尤其深刻。

华应龙老师的课就讲了一道题“师傅：我在你这个年纪时你才5岁，但是你到我这个年纪时，我就71岁了，请问徒弟几岁，师傅几岁？”说实话这道题我一开始也没有思绪，想必孩子们也是思路一团糟。华老师告诉孩子们，书读百遍其义自见，多读题开拓思路，这是现在很多学生不能做到的，题目不会做，没有思路就开始慌乱。华老师告诉孩子们，当没有思路的时候我们可以投石问路，举例子让孩子们仿照写下去，一些孩子很快就发现了，这里有3个年龄差不变。但是还是有一些同学不明白，华老师非常照顾那些不明白的同学，让那些明白的同学忍住不说，还用名人故事告诉他们，能忍住的人会成大事安抚那些优等生。接着，华老师并没有让优等生直接讲答案，而是让他们通过提问的方式，让那些不懂的学生明白其中的奥秘。

其一，回想自己在课堂上，经常只是关注声音大的，而忽视了那些没有发出的不懂的声音，而华老师能够掌握课堂，对于优生，让他们以提问的方式去启发其他同学，其实也是一种成长，而对于后进生，这种足够时间的思考对于他们来说也是一种帮助。接着在提问式的启发中获得了整个班级的成长。

其二，在课堂的一开始，华老师问孩子，谁是笨小孩？没人承认自己聪敏也没人承认自己笨，但题目一出很多孩子都蒙了，对自己的学习信心一下降低了。后来，华老师引领学生画数轴以呈现不同时段，用圆片表示不同年龄截点，尝试投石问路，解决问题。因为每一次“投石”都清晰可见，每一次尝试都直观易懂，所以学生在此过程中，学习渐渐有了感觉。华老师通过课堂教学传达给学生要积极思考，要勇于探究的学习理念与精神，并明确告诉学生，做到如此，有想法再有办法，俨然就不是笨小孩。一节课，既有知识技能的获得----能够解决上述年龄问题；也有思想方法的渗透---借助画图，不断尝试，投石问路；还有情感态度价值观的引领----通过积极的努力让“不会”变成“会”，让“笨小孩”变成“不笨的小孩”。

不得不说华老师真的是个很温柔的老师，对于每个孩子的感受都尽量照顾到，在他的课堂上，优生有优生的发展，后进生有后进生的成长，是我学习的榜样。